oleh Chris Budd dan Chris Sangwin
Edisi 30Pada 101 penggunaan persamaan kuadrat: Bagian I dalam edisi 29 dari Plus kita mengambil melihat persamaan kuadrat dan melihat bagaimana mereka muncul secara alami dalam berbagai masalah sederhana. Dalam bagian kedua ini kita melanjutkan perjalanan kita. Kita akan segera melihat bagaimana kuadratik sederhana membuat penampilannya dalam aplikasi yang berbeda dan penting.
Mari kita mulai di mana kami tinggalkan, dengan kurva kuadratik yang dikenal sebagai lingkaran, elips, hiperbola dan parabola. Ini dikenal dan telah dipelajari sejak Yunani kuno, tapi selain dari lingkaran mereka tampaknya tidak memiliki aplikasi praktis. Namun, pada abad ke-16 tiba waktunya bagi mereka untuk mengubah dunia.
Persamaan kuadrat tidak hanya menggambarkan orbit planet-planet sepanjang yang bergerak sepanjang Matahari, tetapi juga memberi cara untuk mengamati mereka lebih dekat. Kunci untuk kemajuan lebih lanjut dalam astronomi adalah penemuan teleskop. Menggunakan teleskop Galileo bisa mengamati bulan Jupiter dan fase Venus, keduanya memberikan dukungan kepada teori Copernicus. Kemudian, teleskop mencerminkan besar digunakan untuk menyelidiki misteri alam semesta. Dalam beberapa tahun terakhir, teleskop radio raksasa telah digunakan baik untuk mendengarkan alien dan mengirim pesan mana alien potensial mungkin mengambil. Teleskop Galileo menggunakan lensa, bentuk yang dibentuk oleh dua hyperbolae berpotongan. Teleskop refleksi, diciptakan oleh Newton (lihat nanti) memiliki cermin yang setiap penampang mengambil bentuk parabola! Bentuk parabola yang sama bekerja sama dengan baik untuk semangkuk teleskop radio raksasa, cermin cukur dan hidangan TV satelit. Sesungguhnya, persamaan kuadrat terletak di jantung dari komunikasi modern.
Galileo, mengapa persamaan kuadrat dapat menyelamatkan hidup Anda dan 'bahwa' tujuan penurunan
Kesesuaian antara elips, dijelaskan oleh persamaan kuadrat, dan alam tampak sangat luar biasa pada saat itu. Seolah-olah alam mengatakan: ". Berikut ini adalah kurva yang orang tahu tentang, mari kita membuat beberapa penggunaan dari itu" Memahami mengapa ini adalah kurva yang tepat harus menunggu sampai Galileo dan kemudian Newton. Jawabannya mungkin adalah alasan yang paling penting bahwa persamaan kuadrat begitu penting: itu adalah hubungan antara persamaan kuadrat dan percepatan. Itu Galileo yang pertama kali melihat link ini pada awal abad ke-17.Kebanyakan orang telah mendengar tentang Galileo, seorang Profesor warna-warni Matematika di Universitas Pisa. Bagian akhir dari karirnya berpusat pada pertempuran epik dengan Inkuisisi Spanyol pada validitas dari pandangan Copernican mengenai sistem tata surya. Namun, sebelum ini ia mengabdikan sebagian besar hidupnya untuk sebuah studi tentang bagaimana benda bergerak. Jauh sebelum Galileo, ilmuwan Yunani Aristoteles menyatakan bahwa keadaan alami dari materi adalah agar bisa beristirahat. Aristoteles juga mengatakan bahwa benda berat jatuh lebih cepat dari yang ringan. Galileo menantang kedua potongan kebijaksanaan diterima. Di jantung pekerjaan Galileo adalah pemahaman tentang dinamika, yang memiliki relevansi besar untuk kegiatan vital seperti mengetahui kapan (dan bagaimana) untuk menghentikan mobil kami dan juga bagaimana untuk menendang tujuan penurunan.
Di jantung ini adalah pemahaman tentang gagasan percepatan dan peran yang persamaan kuadrat bermain di dalamnya.
Jika suatu benda bergerak dalam satu arah tanpa gaya yang bekerja di atasnya, maka terus bergerak ke arah itu dengan kecepatan konstan. Kita dapat menyebutnya kecepatan ini
Sebuah aplikasi yang sangat penting adalah untuk menemukan jarak menghentikan sebuah mobil bepergian dengan kecepatan tertentu
Rumus kuadrat sederhana yang terkait waktu untuk jarak juga merupakan dasar dari ilmu balistik, yang terlihat pada cara bahwa benda bergerak di bawah gravitasi. Dalam hal ini, benda jatuh di
Kami meninggalkan Galileo dengan penemuan pendulum. Sekitar tahun 1600, Galileo menghadiri kebaktian gereja di Pisa (ia harus). Bosan dengan khotbah, ia mulai menonton ayunan chandelier ke sana kemari - dan membuat penemuan yang luar biasa: waktu yang dibutuhkan untuk ayunan dari kandil itu independen dari amplitudonya. Penemuan ini menyebabkan penemuan pendulum dan timepieces berbagai seperti jam Kakek, tetapi pada saat Galileo tidak bisa menjelaskannya. Untuk melakukannya kita membutuhkan persamaan kuadrat.
Newton, persamaan kuadrat dan bernyanyi di kamar mandi
Newton lahir di tahun yang Galileo meninggal dan pergi untuk benar-benar mengubah cara kita memahami ilmu pengetahuan dan peran bahwa matematika bermain di prediktabilitas ilmiah. Newton terinspirasi oleh karya baik Galileo dan Kepler. Ini raksasa ilmiah telah secara akurat menggambarkan fenomena dinamika dan mekanika langit, tetapi tidak pernah merumuskan penjelasan ilmiah. Itu kiri ke Newton untuk memberikan penjelasan matematis dari fenomena yang mereka amati.Pertama, ia merumuskan tiga hukum gerak, yang menjelaskan pengamatan Galileo. Kedua, ia menggambarkan hukum dasar gravitasi, yang adalah bahwa dua massa yang tertarik satu sama lain dengan kekuatan yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara mereka. Dengan menggunakan argumen geometris ia mampu membuktikan bahwa seperti hukum gaya tersirat bahwa planet-planet harus bergerak di sekitar matahari dalam irisan kerucut. (Tentu saja, itu adalah kebetulan yang luar biasa bahwa hukum kuadrat terbalik menyebabkan orbit yang dapat dijelaskan dalam bentuk kurva yang diketahui!) Newton juga bekerja di bidang optik, dan diakui bahwa teleskop Galileo yang telah digunakan (berdasarkan lensa ) yang disebabkan masalah dengan pembiasan cahaya warna yang berbeda dengan cara yang berbeda. Dia mengatasi ini dengan merancang teleskop berdasarkan cermin. Bentuk terbaik untuk cermin, untuk membawa semua poin menjadi fokus, adalah tidak lain dari parabola, yang mengarah ke teleskop mencerminkan kita lihat sebelumnya.
Namun, Newton memiliki ace lanjut lengan bajunya. Sementara ia menggunakan argumen geometris untuk menjelaskan hal yang sezamannya, dia juga (secara paralel dengan Leibnitz, namun secara independen dari dia) mengembangkan kalkulus. Ini adalah teori matematika cara bahwa segala sesuatu berubah dan itu sempurna untuk menggambarkan benda-benda bertindak sesuai dengan hukum-hukum tentang gerak. Perangkat mendasar dalam penerapan kalkulus dengan dunia nyata adalah persamaan diferensial, yang berkaitan dengan perubahan kondisi suatu objek untuk (misalnya) gaya yang bekerja pada mereka. Persamaan diferensial berada di jantung dari hampir semua aplikasi modern matematika untuk fenomena alam, dari memahami bagaimana panas yang mengalir melalui sebuah bar dengan cara bahwa binatang berkembang pola mantel (lihat Bagaimana macan tutul mendapatkan spot nya , juga dalam masalah ini Plus). Aplikasi mereka hampir tak terbatas, dan mereka memainkan peran penting dalam banyak teknologi modern.
Ketika Newton masih hidup ini semua masih di masa depan! Tapi satu masalah yang dia lakukan adalah menganggap gerakan pendulum yang begitu tertarik Galileo. Gerakan ini dapat digambarkan dalam bentuk persamaan diferensial, dan dalam kasus ayunan pendulum kecil persamaan ini dapat diselesaikan untuk menemukan waktu ayunan. Memecahkan memerlukan menemukan solusi untuk persamaan kuadrat!
Jika
Perbedaan antara kedua jenis gerak yang sangat mendalam dan terjadi karena, dalam kasus kedua, solusi dari persamaan kuadrat yang kompleks dan melibatkan akar kuadrat dari -1. Kami akan melihat ini secara lebih rinci saat ini.
Persamaan kuadrat dibawa ke udara
Hubungan antara persamaan kuadrat dan persamaan diferensial urutan kedua adalah kebetulan: itu semua diikat dengan hubungan antara gaya dan percepatan dijelaskan dalam hukum kedua Newton. Ketika Newton merumuskan hukum ini dia berpikir terutama dari gerakan tubuh kaku. Namun, ia segera menyadari bahwa hukum yang sama bisa diterapkan dengan cara cairan seperti air dan udara bergerak. Secara khusus, adalah mungkin untuk menggunakan hukum Newton untuk menemukan hubungan antara kecepatan fluida dan tekanannya. Versi canggih dari hukum-hukum (disebut persamaan Navier-Stokes dan terkait diferensial parsial) yang dipecahkan pada komputer besar untuk meramalkan cuaca. Namun, solusi tertentu, berlaku untuk berbagai jenis aliran fluida, adalah salah satu bahan utama dalam penemuan prinsip-prinsip dasar penerbangan. Konsekuensi dari hal ini telah beragam dan terkait (seperti biasa) dengan persamaan kuadrat disebut persamaan Bernouilli.Keluarga Bernoulli terdiri matematikawan banyak yang baik secara individu maupun bersama-sama membuat kemajuan besar dalam matematika. Salah satunya, Jacob Bernoulli, melihat cara udara bergerak. Dia menemukan bahwa jika Anda melihat aliran udara dengan kecepatan
Ini menunjukkan bahwa tekanan yang diberikan oleh fluida (udara) menurun sebagai kecepatan fluida meningkat. Anda mungkin berharap cairan bergerak untuk mengerahkan lebih banyak tekanan, tapi di sini kita berbicara tentang tekanan lateral, bukan gaya yang dihasilkan oleh momentum dari cairan itu sendiri. Itu adalah kekuatan Anda rasakan ketika angin bertiup.
Jika Anda menggunakan aliran udara dan saluran cukup besar, Anda harus dapat menyeimbangkan bola ping-pong. Dalam prakteknya penyedot debu mundur, bola ping-pong dan corong dapur besar bekerja sangat baik memang. Ini terlihat sangat aneh sebagai downdraft udara tampaknya menyedot bola atas. Namun, itu benar-benar sesuai dengan prinsip fisik!
Mengapa persamaan kuadrat kompleks mengarah ke ponsel
Marilah kita berhenti dan berpikir sejenak tentang apa yang terjadi ketika kita persegi nomor: artinya, ketika kita mengambilIni memperbaiki matematika perlu dibenarkan! Jika tidak kami mungkin hanya terus menciptakan jenis baru dari nomor setiap kali kita menghadapi masalah kita tidak bisa memecahkan. Akhirnya kita akan kehabisan surat, dan dalam hal apapun kami tidak akan mendapatkan pemahaman tentang bagaimana semua jenis baru dari nomor yang terkait satu sama lain. Semuanya akan sia-sia. Hasil matematika sangat dalam adalah yang benar-benar menciptakan jenis baru dari nomor ternyata cukup tidak perlu. Menggunakan kombinasi bilangan real dan imajiner, yang dikenal sebagai bilangan kompleks, ternyata cukup untuk memecahkan hampir semua masalah matematika! Orang pertama yang benar-benar menggunakan nomor imajiner dengan keyakinan adalah Leonhard Euler, yang tinggal 1707-1783, dan salah satu perhitungan lain matematika liar dan berani dijelaskan dalam Sebuah seri tak terbatas kejutan oleh salah satu dari kami (Chris Sangwin) dalam edisi 19 dari Plus.
Jumlah imajiner
Aplikasi lain yang sangat signifikan dari jumlah imajiner
Sentuhan kekacauan kuadrat
Salah satu model yang sangat sederhana mengasumsikan bahwa proporsi, kapak n, katakanlah, berkembang biak dengan sukses dan bahwa bx n 2 mati dari kepadatan penduduk. Untuk menyederhanakan persamaan kita dapat kembali skala koordinat untuk mendapatkan persamaan kuadrat berikut:
x n +1 = rx n (1 - x n)
untuk beberapa nomor terprogram r> 0 dan populasi awal x 1. Sebenarnya, kita telah mendefinisikan seluruh keluarga quadratics, diberi label oleh r konstan. Setiap anggota keluarga ini dikenal sebagai peta logistik. Itu bernilai baik melakukan beberapa eksperimen numerik untuk menyelidiki perilaku dari populasi serangga. Anda dapat mencoba sendiri menggunakan spreadsheet seperti Excel. Untuk melakukan tempat ini populasi awal ke dalam sel A1, yang harus antara 0 dan 1. Kemudian, ketik rumus
= 4 * A1 * (1 - A1)
ke sel A2. Hal ini memiliki efek membuat A2 sama dengan penduduk pada tahun 2, diberi nilai r = 4. Sekarang, menyalin isi sel A2 ke A3, A4 dan seterusnya.
Hal yang besar tentang Excel, dan paket spreadsheet lainnya, adalah
bahwa secara otomatis mengubah referensi A1 dalam rumus ke sel di atas. Kemudian Excel secara otomatis akan menghitung populasi serangga selama beberapa tahun. Anda dapat mengubah populasi awal dalam sel A1. Anda juga dapat mengubah nilai r, yang dalam kasus contoh di atas ditetapkan untuk 4. Jika hal ini dilakukan, Anda akan harus menyalin formula baru ke semua sel lagi. Petualang juga bisa plot nilai-nilai populasi serangga pada grafik. Untuk menggambar plot cobweb, hal pertama yang harus dilakukan adalah memilih nilai r dan kemudian plot kuadrat pada diagram sarang laba-laba. Kemudian populasi awal, x 1 pada sumbu x-dan juga garis y = x. Nilai x 2 adalah rx 1 (1 - x 1) menurut definisi, yang hanya nilai x 1 pada grafik. Jadi menarik garis vertikal dari x 1 sampai hits grafik. Lanjutkan dengan menggambar garis horizontal dari x 2 sampai garis y = x. Sekarang kita memiliki posisi x 2 pada sumbu x dan dapat mengulangi proses tersebut. Untuk menemukan x 3, kita hanya dapat menarik lain garis vertikal untuk membuat grafik, dan kemudian garis horizontal kembali ke garis y = x. Prosedur grafis dapat diulang, tanpa menjadi buta karena daftar nomor. Anda bisa mendapatkan rasa yang sangat baik dari apa yang terjadi dengan diagram sarang laba-laba.
Applet interaktif di bawah ini akan memungkinkan Anda untuk bereksperimen dengan nilai yang berbeda dari r dengan menarik maksimal atas kuadrat dan bawah. Maksimal ternyata r / 4 dalam peta logistik, sehingga applet memungkinkan Anda untuk menggunakan r antara 0 dan 4. Anda juga dapat mengubah populasi awal dengan menarik bar horizontal dengan mouse.
Java Applet oleh Dr AD Burbanks
Peta ini menunjukkan kekacauan logistik kuadrat, yang merupakan daerah yang modern dan menarik dari matematika terapan.
Chaos digunakan untuk menggambarkan suatu sistem yang berperilaku
dengan cara yang tampaknya acak, bahkan ketika sistem itu sendiri tidak
acak. Apa yang paling mengejutkan adalah bahwa: Sangat sederhana sistem berperilaku dalam cara yang sangat kompleks.Sebagai contoh, di bawah ini kami menunjukkan apa yang terjadi ketika Anda mengambil dua populasi awal yang sangat dekat bersama-sama. Secara khusus kami memulai sistem dengan x 1 = 0,2 dan kemudian x 1 = 0,2001, yang sangat dekat memang. Setelah hanya beberapa generasi populasi yang melakukan hal-hal yang sama sekali berbeda! Perilaku semacam ini akan menjadi bencana jika Anda ingin memperkirakan populasi, tetapi harus memperkirakan populasi awal.
Kesimpulan
Kami telah menunjukkan bahwa persamaan kuadrat memiliki banyak aplikasi dan telah memainkan peranan penting dalam sejarah manusia. Berikut adalah aplikasi yang lebih sedikit di mana persamaan kuadrat sangat diperlukan. Sebagai tantangan, Anda bisa membuat daftar ini sampai dengan 101?Bahwa tujuan penurunan, kakek jam, kelinci, daerah, bernyanyi, pajak, arsitektur, sundials, berhenti, elektronik, mikro-chip, lemari es, bunga matahari, percepatan, kertas, planet, balistik, menembak, melompat, asteroid, teori kuantum, chaos, jendela, tenis, bulu tangkis, penerbangan, radio, pendulum, cuaca, jatuh, golf mandi, persamaan diferensial, teleskop,.
Penutup
Artikel ini terinspirasi sebagian oleh perdebatan yang luar biasa di British House of Commons tentang masalah persamaan kuadrat. Catatan dari perdebatan ini dapat ditemukan di Hansard, Inggris Raya House of Commons, 26 Juni 2003, Kolom 1.259-1.269, 2003. Ini tersedia di situs Hansard .Tentang penulis
Chris Budd adalah Profesor Matematika Terapan di Departemen Ilmu Matematika di University of Bath, dan Ketua Matematika di Royal Institution di London.Chris Sangwin adalah anggota staf di Sekolah Matematika dan Statistik di University of Birmingham. Dia adalah Research Fellow di Belajar dan Mengajar pusat Dukungan Jaringan untuk Matematika, Statistik, dan Riset Operasional.
Mereka baru-baru ini menulis matematika Galore buku populer Matematika, diterbitkan oleh Oxford University Press!.
0 komentar:
Posting Komentar